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Ramsey定理

http://www.zcsbbs.com/ 时间:2016-12-19  来源:同升国际最会爆奖  作者:语嫣

R证明如下:首先,把这6个人设为A、B、C、D、E、F六个点。由A点可以引出AB、AC、AD、AE、AF五条线段。设:如果两个人认识,则设这两个人组成的线段为红色;如果两个人不认识

R证明如下:首先,把这6个人设为A、B、C、D、E、F六个点。由A点可以引出AB、AC、AD、AE、AF五条线段。设:如果两个人认识,则设这两个人组成的线段为红色;如果两个人不认识,则设这两个人组成的线段为蓝色。由抽屉原则可知:这五条线段中至少有三条是同色的。不妨设AB、AC、AD为红色。若BC或CD为红色,则结论显然成立。若BC和CD均为蓝色,则若BD为红色,则一定有三个人相互认识;若BD为蓝色,则一定有三个人互相不认识。Ramsey数一对常数a和b,对应于一个整数r,使得r个人中或有a个人相互认识,或有b个人互不认识;或有a个人互不认识,或有b个人相互认识,这个数r的最小值用R(a,b)来表示,也就是R(a,b)个顶点的完全图,用红蓝两种颜色进行着色,无论何种情况必至少存在以下两者之一:(1)一个a个顶点着红颜色的完全子图,或一个b个顶点着蓝颜色的完全子图;(1)一个a个顶点着蓝颜色的完全子图,或一个b个顶点着红颜色的完全子图。上述问题可以看作是R(3,3)=6的一个特列。已知的Ramsey数非常少,保罗·艾狄胥曾以一个故事来描述寻找拉姆齐数的难度:“想像有队外星人军队在地球降落,要求取得R(5,5)的值,否则便会毁灭地球。在这个情况,我们应该集中所有电脑和数学家尝试去找这个数值。若它们要求的是R(6,6)的值,我们要尝试毁灭这班外星人了。”Ramsey证明,对于给定的正整数数k及l,R(k,l)的答案是唯一和有限的。目前的进展如下图所示(很多只有一个范围):ramsey数ramsey数更一般的Ramsey数若把以上讨论中红、蓝两种颜色改为k种颜色c1,c2,...,ck,把存在a条边的同色完全图,或b条边的同色完全图,改为或a1,或a2,...,或a条边的同色完全图,即得到Ramsey数R(a1,a2,...,ak),即对r个顶点的完全图,用k种颜色c1,c2,...,ck任意染色,必然是或出现以c1颜色的a1个顶点的完全图,或出现以c2颜色的a2个顶点的完全图,...,或出现以ck颜色的ak个顶点的完全图,这样的整数r的最小值用R(a1,a2,...ak)表示。针对Ramsey定理扩展到任意多种颜色的情况,我们给出一个非常简略的介绍。如果n1,n2和n3都是大于或等于2的整数,则存在整数p,使得Kp→Kn1,Kn2,Kn3。也就是说,如果把Kp的每条边着上红色、蓝色或绿色,那么或者存在一个红Kn1,或者存在一个蓝Kn2,或者存在一个绿Kn3。使该结论成立的最小整数p称为Ramsey数r(n1,n2,n3)。已知这种类型的仅有的非平凡Ramsey数为r(3,3,3)=17。因此,K17→K3,K3,K3,而K16→K3,K3,K3。我们可以用类似的方法定义Ramsey数r(n1,n2,…,nk),而对于点对Ramsey定理的完全一般形式是这些数存在;即存在整数p,使得Kp→Kn1,Kn2,…,Knk成立。Ramsey定理还有更一般的形式,在这种形式中点对(两个元素的子集)换成了t个元素的子集,其中t≥1是某个整数。令Ktn表示n元素集合中所有t个元素的子集的集合。将上面的概念扩展,Ramsey定理的一般形式可叙述如下:给定整数t≥2及整数q1,q2,…,qk≥t,存在一个整数p,使得Ktp→Ktq1,Ktq2,…,Ktqk成立。也就是说,存在一个整数p,使得如果给p元素集合中的每一个t元素子集指定k种颜色c1,c2,…,ck中的一种,那么或者存在q1个元素,这些元素的所有t元素子集都被指定为颜色c1,或者存在q2个元素,这些元素的所有t元素子集都被指定为颜色c2,…,或者存在qk个元素,它的t元素子集都被指定为颜色ck。这样的整数中最小的整数p为Ramsey数rt(q1,q2,…,qk)。假设t=1。于是,r1(q1,q2,…,qk)就是满足下面条件的最小的数p:如果p元素集合的元素被用颜色c1,c2,…,ck中的一种颜色着色,那么或者存在q1个都被着成颜色c1的元素,或者存在q2个都被着成颜色c2的元素,…,或者存在qk个都被着成颜色ck的元素。因此,根据鸽巢原理的加强版,有r1(q1,q2,…,qk)=q1+q2+…+qk-k+1这就证明Ramsey定理是鸽巢原理的加强版的扩展。确定一般的Ramsey数rt(q1,q2,…,qk)是一个困难的工作。关于它们的准确值我们知道得很少。但不难看出,rt(t,q2,…,qk)=rt(q2,…,qk)并且q1,q2,…,qk的排列顺序不影响Ramsey数的值。
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